費曼量子力學筆記(3)

全同粒子，燒腦的東西來了。

這個主題在我當初大四要考物理所自修近代物理的時候，幾乎快要把我弄暈了。後來碩一修課Sakurai 的量力也寫的令人感到撲朔迷離，最後只得記住一些關於Fermion跟Bonson特性的結論，但對其物理內涵及衍生的各種諸如BEC之類的物理圖像實在很難想像。Feynman從雙粒子散射假想實驗開始、搭配機率幅的規則，就能推導出最基本的一切。

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全同粒子：

假設 f(θ) 是α粒子散射進θ角的機率幅，那麼 f(π-θ) 是氧散射進θ角的機率幅。所以在D1發現某個粒子的情況：

     機率 = |f(θ)|² + |f(π-θ)|²  …原則上是不同的終態，”機率”相加

如果我們將上述的粒子交換機率幅f(π-θ)推廣成包含一個相位、但機率並不變的情況，也就是e^iδf(π-θ)，此機率幅可用來表示原過程f(θ)粒子交換後的機率幅。如果我們再次交換它們，就會回到原先狀態，因此e^iδ只能是1或是 -1。

所以，當氧換成α粒子時，等於兩個玻色子散射：

  機率 = |f(θ) + f(π-θ)|² …無法分辨終態不同，”機率幅”相加

考慮兩個自旋相同電子(或其它費米子)，並假設散射過程自旋無變化

  機率 = |f(θ) - f(π-θ)|² …無法分辨終態不同, 但交換過程相位相反

考慮兩個未極化自旋電子(或其它費米子)，並假設散射過程過程自旋可變化

  機率 = 1/2*|f(θ) - f(π-θ)|² + 1/2*(|f(θ)|² + |f(π-θ)|²) …每個終態可分辨

2-Bosons：

設a, b 兩粒子分別散射至狀態1, 2及2, 1 則總機率 P = |a₁|²|b₂|² + |a₂|²|b₁|²

當 1趨近於2時，a₁ = a₂ = a, b₁= b₂ = b; 則P = 2|a|²|b|²

但如果 a = b 都是玻色子時，上述過程的總機率 P = |a₁b₂ + a₂b₁|² = 4|a|²|b|²

機率比非全同玻色子時大一倍，這暗示了如果已經有一個玻色子處於某種狀態，則這個狀態獲得第二個玻色子的機率，比起原先並沒有粒子已經處於這個狀態、而玻色子將首次進入這個狀態的機率要大上一倍。

n-Bonsons：

根據2個玻色子的狀況再推廣到3個玻色子，我們可以得知

  P₂(玻色子) = 2!*P₂(相異粒子)

  P₃(玻色子) = 3!*P₃(相異粒子)

  …

  P_n(玻色子) = n!*P_n(相異粒子)

如果已經有n個玻色子處於某特定狀態中，那麼再多一個玻色子w進入這特定狀態的機率為：

  P_n+1(玻色子) = (n+1)!*|abc…n*w|² = (n+1)*|w|²*P_n(玻色子)

我們可以把|w|²看成是玻色子w進入這個狀態的機率，而P_n(玻色子)是已經有其他n個玻色子在場的機率，所以上式的意思是：當已經有n個全同玻色子存在這個狀態時，多一個全同玻色子進入同一個狀態的機率被放大了(n+1)倍。這種效應讓玻色子液體於極低溫、粒子熱運動很小、所有的粒子會想以同樣的狀態運動。而這種運動有某種剛性(rigidity)，很難把運動分裂成紊流的不規則圖樣，這是無黏滯性超流體的機制。

黑體輻射：

當有n個光子處於某狀態：

一個光子加入(吸收)到這個狀態的機率為 (n+1)*|a|²

而它減少(發射)一個光子的機率為 n*|a|²

其中|a|²是第一個光子加入到這個狀態的機率

令N_g和N_e為原子處於基態與受激態的平均數目，如果系統處於溫度T的熱平衡中，則統計力學角度我們得知N_e/N_g = exp(-h_bar*ω/kT)

處於基態(受激態)的每個原子可以吸收(發射)一個光子，然後上升(下降)到受激態(基態)，在熱平衡的時候這兩個過程的速率必須相等。而速率和事件的機率以及原子的數目成正比，令n為光子處於頻率ω的平均數目，則原子吸收光子的速率為N_g*n*|a|²，且原子發射光子的速率為N_e*(n+1)*|a|²

當兩個速率相等時，我們可以得到 n = 1/(exp(-h_bar*ω/kT) - 1)

這個結果表示：如果我們考慮某個狀態或條件，它可以容納彼此無交互作用的玻色子，然後將n個玻色子放到這個狀態上，它的行為恰好和諧振子及共振腔中的駐波等這類力學系統一樣。因此我們之後談論盒子中某一特定狀態的光子數，或是電磁場某特定振盪模態的第幾個能階，這兩種方式都是在說明相同的東西。

不相容原理：

設a, b 兩費米子分別散射至狀態1, 2及2, 1 則總機率P = |a₁|²|b₂|² - |a₂|²|b₁|²

當 1趨近於2時，a₁ = a₂ = a, b₁= b₂ = b; 則P = 0

所以，兩個費米子根本不可能跑進同一個狀態裡，如果它們位於相同的地點、或是有相同的運動狀態，則它們必然有相反的自旋。

為什麼不存在He²這種同位素?

中子與質子之間的引力在自旋同向時比自旋反向時強一些(QCD的結論?)。事實上，氘原子核中的質子和中子的自旋必定平行才能束縛在一起，因此氘原子核的自旋為1。不過，根據不相容原理如果要有He²，則其中兩個質子必須是自旋反向，但是這樣一來就沒有足夠的束縛力足以形成穩定的原子核。